Η Έννοια της Παραγώγου

Έστω συνάρτηση $f$ και σημείο $A$ της $C_{f}$ με συντεταγμένες $\left (x_{0},f(x_{0}) \right )$ . Θα ορίσουμε την εφαπτομένη της $C_{f}$ στο $A$ . Για το λόγο αυτό, θεωρούμε ένα σημείο $B$ της $C_{f}$ του οποίου η τετμημένη απέχει απόσταση $h$ από το $A$ . Προφανώς, οι συντεταγμένες του σημείου $B$ θα είναι οι $\left (x_{0}+h,f(x_{0}+h) \right )$ . Έστω $\varepsilon$ η ευθεία που ορίζεται από τα $A$ και $B$ (πράσινη ευθεία). Παρατηρούμε ότι καθώς το $h$ τείνει στο μηδέν, το σημείο $B$ πλησιάζει το σημείο $A$ και η ευθεία $\varepsilon$ τείνει να πάρει μία οριακή θέση. Η οριακή αυτή θέση λέγεται εφαπτομένη (tangent) της $C_{f}$ στο $A.$ Η κλίση $\alpha$ (συντελεστής διεύθυνσης) της $\varepsilon$ είναι η εφαπτομένη της γωνίας $\omega$ . Έστω τα τμήματα $A\Gamma \parallel x'x$ και $B\Gamma \parallel y'y$ , τότε $\omega=\varphi$ ως εντός εκτός και επί ταυτά. Επομένως θα έχουμε:

(1) $\begin{equation*} \alpha=\varepsilon \varphi \omega =\varepsilon \varphi \phi =\frac{B\Gamma }{A\Gamma }=\frac{f\left ( x_{0}+h \right )-f\left ( x_{0} \right )}{h} \end{equation*}$

H κλίση της εφαπτομένης στο $A$ ισούται με το όριο της ποσότητας (1) όταν $h\rightarrow 0$ . Έχουμε λοιπόν τον ακόλουθο ορισμό:

Ορισμός

Αν το όριο

$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( x_{0}+h \right )-f\left ( x_{0} \right )}{h}$

υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε λέμε ότι η $f$ είναι παραγωγίσιμη στο σημείο $x_{0}$ του πεδίου ορισμού της. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της $f$ στο $x_{0}$ και συμβολίζεται με $f'\left ( x_{0} \right )$ . Έχουμε λοιπόν:

(2) $\begin{equation*} f'\left ( x_{0} \right )=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( x_{0}+h \right )-f\left ( x_{0} \right )}{h} \end{equation*}$

Σύμφωνα με τα παραπάνω, η κλίση (συντελεστής διεύθυνσης) $\alpha$ της εφαπτομένης στο σημείο $A\left (x_{0},f(x_{0}) \right )$ της $C_{f}$ ισούται με την παράγωγο της $f$ στο $x_{0}$ , δηλαδή:

(3) $\begin{equation*} \alpha=f'\left ( x_{0} \right ) \end{equation*}$

Άσκηση 1

Να βρεθεί η παράγωγος της $f\left ( x \right )=x^{2}$ στα σημεία:

1. $x=1$ .
2. $x=2$ .
3. $x=-1$ .

Λύση

- Για $x=1$

Από το ορισμό (σχέση 2) θα έχουμε:

$f'\left (1 \right )=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( 1+h \right )-f\left (1 \right )}{h}$

Παρατηρούμε ότι:

$f\left (1+h \right )=\left ( 1+h \right )^{2}=\left ( 1^{2}+2\cdot 1\cdot h+h^{2} \right )=h^{2}+2h+1$

επίσης

$f\left ( 1 \right )=1^{2}=1$

άρα

$\begin{align*} f'\left (1 \right )&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( 1+h \right )-f\left ( 1 \right )}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}+2h+\cancel{1}-\cancel{1}}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}+2h}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cancel{h}(h+2)}{\cancel{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}(h+2)\Rightarrow \boxed{f'\left (1 \right )=2} \end{align*}$

- Για $x=2$

Από το ορισμό (σχέση 2) θα έχουμε:

$f'\left (2 \right )=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( 2+h \right )-f\left (2 \right )}{h}$

Παρατηρούμε ότι:

$f\left (2+h \right )=\left ( 2+h \right )^{2}=\left ( 2^{2}+2\cdot 2\cdot h+h^{2} \right )=h^{2}+4h+4$

επίσης

$f\left ( 2 \right )=2^{2}=4$

άρα

$\begin{align*} f'\left (2 \right )&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( 2+h \right )-f\left ( 2 \right )}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}+4h+\cancel{4}-\cancel{4}}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}+4h}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cancel{h}(h+4)}{\cancel{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}(h+4)\Rightarrow \boxed{f'\left (2 \right )=4} \end{align*}$

- Για $x=-1$

Από το ορισμό (σχέση 2) θα έχουμε:

$f'\left (-1 \right )=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( -1+h \right )-f\left (-1 \right )}{h}$

Παρατηρούμε ότι:

$f\left (-1+h \right )=\left ( -1+h \right )^{2}=\left ( (-1)^{2}+2\cdot (-1)\cdot h+h^{2} \right )=h^{2}-2h+1$

επίσης

$f\left ( -1 \right )=(-1)^{2}=1$

άρα

$\begin{align*} f'\left (-1 \right )&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left ( -1+h \right )-f\left ( -1 \right )}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}-2h+\cancel{1}-\cancel{1}}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}-2h}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cancel{h}(h-2)}{\cancel{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}(h-2)\Rightarrow \boxed{f'\left (-1 \right )=-2} \end{align*}$

-Τέλος Λύσης-

Το γεγονός ότι η παράγωγος ισοδυναμεί με την κλίση της εφαπτομένης, μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η παράγωγος μετρά το πόσο απότομα «ανεβαίνει» (θετική παράγωγος) ή «κατεβαίνει» (αρνητική παράγωγος) η $C_{f}$ στο σημείο $x_{0}$ . Στην παρακάτω εφαρμογή μπορείτε να συγκρίνετε την εκάστοτε τιμή της παραγώγου που βρήκαμε στην άσκηση 1 με την αντίστοιχη κλίση της εφαπτομένης. Πολλές φορές η παράγωγος $f'\left ( x_{0} \right )$ καλείται ρυθμός μεταβολής (rate of change) του $y=f\left ( x \right )$ ως προς $x$ , όταν $x=x_{0}$ .

Αποδεικνύεται ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο $x_{0}$ , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που δεν ισχύει το αντίστροφο, δηλαδή υπάρχουν συναρτήσεις που είναι συνεχής σε κάποιο σημείο αλλά όχι παραγωγίσιμες. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η παρακάτω συνάρτηση:

Άσκηση 2

Δίνεται η συνάρτηση:

$f\left ( x \right ) = \left | x \right |=\left\{\begin{matrix} x, & x\geqslant 0\\ -x, & x < 0 \end{matrix}\right.$

Να αποδείξετε ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}=0$

Λύση

Έστω $h>0$ , τότε

$\begin{align*} \lim_{\underset{h>0}{h\rightarrow 0}}\frac{f\left ( x_{0}+h \right )-f\left ( x_{0} \right )}{h}\overset{(x_{0}=0)}{=}\lim_{\underset{h>0}{h\rightarrow 0}}\frac{f\left ( h \right )-f\left (0 \right )}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h-0}{h}=1 \end{align*}$

Για $h<0$ έχουμε:

$\begin{align*} \lim_{\underset{h<0}{h\rightarrow 0}}\frac{f\left ( x_{0}+h \right )-f\left ( x_{0} \right )}{h}\overset{(x_{0}=0)}{=}\lim_{\underset{h<0}{h\rightarrow 0}}\frac{f\left ( h \right )-f\left (0 \right )}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-h-0}{h}=-1 \end{align*}$

άρα παρατηρούμε ότι στο $x_{0}=0$ είναι:

$\begin{align*} \lim_{\underset{h>0}{h\rightarrow 0}}\frac{f\left ( x_{0}+h \right )-f\left ( x_{0} \right )}{h}\neq \lim_{\underset{h<0}{h\rightarrow 0}}\frac{f\left ( x_{0}+h \right )-f\left ( x_{0} \right )}{h} \end{align*}$

επομένως δεν υπάρχει το όριο (2) της παραγώγου και άρα η συγκεκριμένη συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}=0$ .

-Τέλος Λύσης-

Η γραφική παράσταση της $f\left ( x \right ) = \left | x \right |$ παρουσιάζεται στο ακόλουθο σχήμα. Παρατηρούμε ότι στο $x_{0}=0$ η γραφική παράσταση της συνάρτησης σχηματίζει «γωνία». Αυτή είναι η χαρακτηριστική εικόνα που έχουν οι μη παραγωγίσιμες συναρτήσεις, αντίθετα οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις είναι «ομαλές» και χωρίς «γωνίες».

Προσπαθήστε μόνοι σας

Άσκηση 3

Με τη βοήθεια του ορισμού της παραγώγου, να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης

1. $f\left ( x \right )=2x+3$ στο $x=1$
2. $f\left ( x \right )=4x^{2}$ στο $x=2$
3. $f\left ( x \right )=x^{2}+\alpha x$ στο $x=1$
4. $f\left ( x \right )=\alpha x^2+\beta x+\gamma$ στο $x=-1$
5. $f\left ( x \right )=\sqrt{x}$ στο $x=4$
6. $\displaystyle f\left ( x \right )=\frac{1}{x}$ στο $x=2$

Άσκηση 3

Δίνεται η συνάρτηση:

$f\left ( x \right ) = 2+\left | x - 1\right |$

Να αποδείξετε ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο $x_{0}=1$

Στείλε την προσπάθειά σου