Πίνακες Συχνοτήτων

Μετά τη συλλογή των στατιστικών δεδομένων είναι αναγκαία η κατασκευή συνοπτικών πινάκων που περιέχουν όλες τις απαραίτητες πληροφορίες του δείγματος. Ας υποθέσουμε ότι εξετάζουμε ένα δείγμα μεγέθους $\nu$ ως προς ένα χαρακτηριστικό που εκφράζεται από την τυχαία μεταβλητή $X.$ Υποθέτουμε ότι οι διαφορετικές τιμές που πήρε η μεταβλητή είναι: $x_{1},\, x_{2},\, ... ,\,x_{k}$ , προφανώς $k\leqslant \nu$ . Γενικά, την τυχαία τιμή που παίρνει η μεταβλητή τη συμβολίζουμε με $x_{i}$ όπου ο δείκτης $i$ παίρνει τις τιμές $i=1,\,2,...,k.$

Άσκηση 1

Στο πλαίσιο μιας έρευνας ρωτήσαμε 20 μαθητές Γ’ Λυκείου πόσα αδέλφια έχουν. Οι απαντήσεις που πήραμε είναι:

$\begin{align*} 2, \:1, \:0, \:0, \:1, \:1, \:1, \:2, \:3, \:1, \:\\ 0, \:1, \:1, \:1, \:0, \:2, \:2, \:0, \:3, \:1. \: \end{align}$

1. Ποιος είναι ο πληθυσμός που μελετάμε;
2. Ποιο είναι το μέγεθος $\nu$ του δείγματος;
3. Ποια είναι η τυχαία μεταβλητή $X$ και τι είδους είναι;
4. Ποιες είναι οι διαφορετικές τιμές που παίρνει η μεταβλητή και ποιο το πλήθος $k$ των διαφορετικών τιμών;

Λύση

1. Ο πληθυσμός που μελετάμε είναι οι μαθητές της Γ’ Λυκείου.
2. Το μέγεθος του δείγματος είναι $\nu = 20$ .
3. Το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο μελετάμε τον πληθυσμό είναι ο αριθμός των αδελφών άρα η μεταβλητή $X$ παίρνει για κάθε άτομο του δείγματος τιμή ίση με τον αριθμό αδελφών του ατόμου, δηλαδή $X=0,\,1,\,2,\,3,\,4,...$ Η μεταβλητή είναι ποσοτική και διακριτή.
4. Οι διαφορετικές τιμές που παίρνει η μεταβλητή στο συγκεκριμένο δείγμα είναι $x_{1}=0,\,x_{2}=1,\,x_{3}=2,\,x_{4}=3$ , άρα $k=4$ .

-Τέλος Λύσης-

Στην τιμή $x_{i}$ αντιστοιχίζεται η (απόλυτη) συχνότητα (frequency) $\nu_{i}$ , δηλαδή ο φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή $x_{i}$ της εξεταζόμενης μεταβλητής $X$ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το μέγεθος $\nu$ του δείγματος, δηλαδή:

(1) $\begin{align*} \nu_{1}+\nu_{2}+\cdots+\nu_{k}=\nu \end{align*}$

Αν διαιρέσουμε τη συχνότητα $\nu_{i}$ με το μέγεθος $\nu$ του δείγματος, προκύπτει η σχετική συχνότητα (relative frequency) $f_{i}$ της τιμής $x_{i},$ δηλαδή:

(2) $\begin{align*} f_{i}=\frac{\nu_{i}}{\nu},\:i=1,2,...,k \end{align*}$

Θεώρημα

Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

1. $0\leqslant f_{i}\leqslant 1$ για $i=1,2,...,k$
2. $f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{k}=1$

Απόδειξη

1. Προφανώς για τη συχνότητα $\nu_{i}$ ισχύει $0\leqslant \nu_{i}\leqslant \nu$ οπότε:

$0\leqslant \nu_{i}\leqslant \nu \Rightarrow \frac{0}{\nu} \leqslant \frac{\nu_{i}}{\nu} \leqslant \frac{\nu}{\nu} \Rightarrow 0\leqslant f_{i}\leqslant 1$

$f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{k}=\frac{\nu_{1}}{\nu}+\frac{\nu_{2}}{\nu}+\cdots+\frac{\nu_{k}}{\nu}=\frac{\nu_{1}+\nu_{2}+\cdots+\nu_{k}}{\nu}=\frac{\nu}{\nu}=1$

Συνήθως, τις σχετικές συχνότητες $f_{i}$ τις εκφράζουμε ως επί τοις εκατό ποσοστό και συμβολίζονται με $f_{i}\%$ , δηλαδή $f_{i}\%=100\cdot f_{i}.$

Οι ποσότητες $x_{i}$ , $\nu_{i}$ , $f_{i}$ για ένα δείγμα συγκεντρώνονται σε ένα συνοπτικό πίνακα, που ονομάζεται πίνακας κατανομής συχνοτήτων ή απλά πίνακας συχνοτήτων. Για μια μεταβλητή, το σύνολο των ζευγών $\left ( x_{i},\nu_{i} \right )$ λέμε ότι αποτελεί την κατανομή συχνοτήτων και το σύνολο των ζευγών $\left ( x_{i},f_{i} \right )$ , ή των ζευγών $\left ( x_{i}, f_{i} \%\right )$ , την κατανομή των σχετικών συχνοτήτων.

Παρακάτω παρουσιάζεται η γενική μορφή που έχει ο πίνακας συχνοτήτων. Ο αριθμός των γραμμών του πίνακα χωρίς την πρώτη γραμμή (τίτλοι στηλών) και την τελευταία γραμμή (σύνολα) ισούται με $k.$

Αύξων Αριθμός $\color{white}i$	Τυχαία Μεταβλητή $\color{white}x_{i}$	Συχνότητα $\color{white}\nu_{i}$	Σχετική Συχνότητα $\color{white}f_{i}$	Επί τοις εκατό Σχετική Συχνότητα $\color{white}f_{i}\%$
$1$	$x_{1}$	$\nu_{1}$	$f_{1}$	$f_{1}\%$
$2$	$x_{2}$	$\nu_{2}$	$f_{2}$	$f_{2}\%$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
$k$	$x_{k}$	$\nu_{k}$	$f_{k}$	$f_{k}\%$
Σύνολο		$\nu$	$1$	$100$

Η πρώτη στήλη (Αύξων Αριθμός) συνήθως παραλείπεται. Για κάθε στοιχείο του πίνακα ο δείκτης $i$ αντιστοιχεί στη γραμμή του πίνακα στην οποία βρίσκεται το στοιχείο, έτσι για παράδειγμα το στοιχείο $\nu_{3}$ αντιστοιχεί στη συχνότητα της 3ης γραμμής.

Άσκηση 2

Για τα δεδομένα της άσκησης 1 να κατασκευαστεί ο πίνακας συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων και επί τοις εκατό σχετικών συχνοτήτων.

Λύση

Στη άσκηση 1 είδαμε ότι οι τιμές που παίρνει η μεταβλητή $X$ είναι $x_{1}=0$ , $x_{2}=1$ , $x_{3}=2$ και $x_{4}=3$ . Οι αντίστοιχες συχνότητες είναι $\nu_{1}=5$ , $\nu_{2}=9$ , $\nu_{3}=4$ και $\nu_{4}=2$ . Για τις σχετικές συχνότητες έχουμε:

$\begin{align*} f_{1}&=\frac{\nu_{1}}{\nu}=\frac{5}{20}=0.25\\ f_{2}&=\frac{\nu_{2}}{\nu}=\frac{9}{20}=0.45\\ f_{3}&=\frac{\nu_{3}}{\nu}=\frac{4}{20}=0.2\\ f_{4}&=\frac{\nu_{4}}{\nu}=\frac{2}{20}=0.1 \end{align}$

Τυχαία Μεταβλητή $\color{white}x_{i}$	Συχνότητα $\color{white}\nu_{i}$	Σχετική Συχνότητα $\color{white}f_{i}$	Επί τοις εκατό Σχετική Συχνότητα $\color{white}f_{i}\%$
$0$	$5$	$0.25$	$25$
$1$	$9$	$0.45$	$45$
$2$	$4$	$0.2$	$20$
$3$	$2$	$0.1$	$10$
Σύνολο	$20$	$1$	$100$

-Τέλος Λύσης-

Στην περίπτωση των ποσοτικών μεταβλητών εκτός από τις συχνότητες $\nu_{i}$ και τις σχετικές συχνότητες $f_{i}$ χρησιμοποιούνται και οι λεγόμενες αθροιστικές συχνότητες (cumulative frequencies) $N_{i}$ και οι αθροιστικές σχετικές συχνότητες (cumulative relative frequencies) $F_{i}$ , οι οποίες εκφράζουν το πλήθος και το ποσοστό αντίστοιχα των παρατηρήσεων που είναι μικρότερες ή ίσες της τιμής $x_{i}$ . Επομένως, η αθροιστική συχνότητα $N_{i}$ υπολογίζεται από τη σχέση:

$N_{i}&=\nu_{1}+\nu_{2}+\cdots+\nu_{i}$

και η αθροιστική σχετική συχνότητα $F_{i}$ υπολογίζεται από τη σχέση:

$F_{i}&=f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{i}$

Πιο αναλυτικά για τις σχετικές συχνότητες έχουμε:

$\begin{align*} N_{1}&=\nu_{1}\\ N_{2}&=\nu_{1}+\nu_{2}\\ N_{3}&=\nu_{1}+\nu_{2}+\nu_{3}\\ &\vdots \\ N_{k}&=\nu_{1}+\nu_{2}+\cdots+\nu_{k} \end{align}$

και αντίστοιχα για τις σχετικές αθροιστικές συχνότητες έχουμε:

$\begin{align*} F_{1}&=f_{1}\\ F_{2}&=f_{1}+f_{2}\\ F_{3}&=f_{1}+f_{2}+f_{3}\\ &\vdots \\ F_{k}&=f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{k} \end{align}$

Παρατηρούμε ότι η τελευταία ( $k$ ) αθροιστική συχνότητα ισούται με το μέγεθος του δείγματος:

$N_{k}&=\nu_{1}+\nu_{2}+\cdots+\nu_{k}=\nu$

και η τελευταία ( $k$ ) αθροιστική σχετική συχνότητα ισούται με μονάδα:

$F_{k}&=f_{1}+f_{2}+\cdots+f_{k}=1$

Επίσης είναι φανερό ότι ισχύουν οι σχέσεις:

$\begin{align*} \nu_{1}&=N_{1}\\ \nu_{2}&=N_{2}-N_{1}\\ \nu_{3}&=N_{3}-N_{2}\\ &\vdots \\ \nu_{k}&=N_{k}-N_{k-1}\\ \end{align}$

και

$\begin{align*} f_{1}&=F_{1}\\ f_{2}&=F_{2}-F_{1}\\ f_{3}&=F_{3}-F_{2}\\ &\vdots \\ f_{k}&=F_{k}-F_{k-1}\\ \end{align}$

Άσκηση 3

Στον πίνακα της άσκησης 2 να προστεθούν οι στήλες αθροιστικών συχνοτήτων, αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και επί τοις εκατό αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων.

Λύση

Για τις αθροιστικές συχνότητες έχουμε:

$\begin{align*} N_{1}&=\nu_{1}=5\\ N_{2}&=\nu_{1}+\nu_{2}=5+9=14\\ N_{3}&=\nu_{1}+\nu_{2}+\nu_{3}=5+9+4=18\\ N_{4}&=\nu_{1}+\nu_{2}+\nu_{3}+\nu_{4}=5+9+4+2=20 \end{align}$

Για τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες έχουμε:

$\begin{align*} F_{1}&=f_{1}=0.25\\ F_{2}&=f_{1}+f_{2}=0.25+0.45=0.7\\ F_{3}&=f_{1}+f_{2}+f_{3}=0.25+0.45+0.2=0.9\\ F_{4}&=f_{1}+f_{2}+f_{3}+f_{4}=0.25+0.45+0.2+0.1=1 \end{align}$

Τυχαία Μεταβλητή $\color{white}x_{i}$	Συχνότητα $\color{white}\nu_{i}$	Σχετική Συχνότητα $\color{white}f_{i}$	Επί τοις εκατό Σχετική Συχνότητα $\color{white}f_{i}\%$	Αθροιστική Συχνότητα $\color{white}N_{i}$	Αθροιστική Σχετ. Συχνότητα $\color{white}F_{i}$	Επί τοις εκατό Αθροιστική Σχετ. Συχνότητα $\color{white}F_{i}\%$
$0$	$5$	$0,25$	$25$	$5$	$0.25$	$25$
$1$	$9$	$0,45$	$45$	$14$	$0.7$	$70$
$2$	$4$	$0,2$	$20$	$18$	$0.9$	$90$
$3$	$2$	$0,1$	$10$	$20$	$1$	$100$
Σύνολο	$20$	$1$	$100$

-Τέλος Λύσης-

Προσοχή

Ο τρόπος κατασκευής του πίνακα συχνοτήτων που περιγράφεται παραπάνω μπορεί να εφαρμοστεί μόνο για:

1. ποιοτικές μεταβλητές (χωρίς τις στήλες των αθροιστικών συχνοτήτων)
2. και ποσοτικές διακριτές μεταβλητές που λαμβάνουν λίγες διαφορετικές τιμές.

Στην περίπτωση που η ποσοτική μεταβλητή είναι συνεχής ή διακριτή που λαμβάνει πολλές διαφορετικές τιμές, τότε για την κατασκευή του πίνακα συχνοτήτων απαιτείται ομαδοποίηση παρατηρήσεων (εκτός ύλης για το σχ. έτος 2019-2020).

Προσπαθήστε μόνοι σας

Άσκηση 4

Να συμπληρωθεί ο πίνακας

Τυχαία Μεταβλητή $\color{white}x_{i}$	Συχνότητα $\color{white}\nu_{i}$	Σχετική Συχνότητα $\color{white}f_{i}$	Επί τοις εκατό Σχετική Συχνότητα $\color{white}f_{i}\%$	Αθροιστική Συχνότητα $\color{white}N_{i}$	Αθροιστική Σχετ. Συχνότητα $\color{white}F_{i}$	Επί τοις εκατό Αθροιστική Σχετ. Συχνότητα $\color{white}F_{i}\%$
$x_{1}$	$5$
$x_{2}$	$8$
$x_{3}$	$12$
$x_{4}$	$15$
$x_{5}$	$10$
Σύνολο

Άσκηση 5

Να συμπληρωθεί ο πίνακας

Τυχαία Μεταβλητή $\color{white}x_{i}$	Συχνότητα $\color{white}\nu_{i}$	Επί τοις εκατό Σχετική Συχνότητα $\color{white}f_{i}\%$	Αθροιστική Συχνότητα $\color{white}N_{i}$	Αθροιστική Σχετ. Συχνότητα $\color{white}F_{i}$
$1$		$20$
$2$			$25$
$3$				$0.82$
$4$	$9$
Σύνολο

Άσκηση 6

Να συμπληρωθεί ο πίνακας

Τυχαία Μεταβλητή $\color{white}x_{i}$	Συχνότητα $\color{white}\nu_{i}$	Επί τοις εκατό Σχετική Συχνότητα $\color{white}f_{i}\%$	Αθροιστική Συχνότητα $\color{white}N_{i}$	Αθροιστική Σχετ. Συχνότητα $\color{white}F_{i}$
$x_{1}$	$\alpha$
$x_{2}$	$\beta$	$20$
$x_{3}$	$\gamma$		$33$
$x_{4}$	$\beta$			$0.86$
$x_{5}$	$\alpha$
Σύνολο

Άσκηση 7

Στο πλαίσιο μίας έρευνας ρωτήθηκαν $\nu$ άτομα πόσες ημέρες το μήνα πηγαίνουν σινεμά. Οι απαντήσεις που δόθηκαν ήταν από 0 έως 4 ημέρες. Ισχύουν:

- 5 άτομα πηγαίνουν σινεμά 4 ημέρες το μήνα.
- 85 άτομα πηγαίνουν σινεμά το πολύ 2 ημέρες το μήνα.
- Τα άτομα που πηγαίνουν σινεμά 2 ημέρες το μήνα είναι διπλάσια από τα άτομα που δεν πηγαίνουν καθόλου σινεμά.
- Το 45% πηγαίνει σινεμά τουλάχιστον 2 ημέρες το μήνα.
- Το 15% δεν πηγαίνει σινεμά.

Να συμπληρωθεί ο πίνακας συχνοτήτων με στήλες: $x_{i}$ , $\nu_{i}$ , $f_{i}$ , $f_{i}\%$ , $N_{i}$ , $F_{i}$ και $F_{i}\%$ .

Στείλε την προσπάθειά σου