Σημεία τομής Γραφικών Παραστάσεων

Πολλές φορές θέλουμε να βρούμε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων δύο συναρτήσεων. Έστω $C_{f}$ και $C_{g}$ οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων $f$ και $g$ αντίστοιχα. Αν υποθέσουμε ότι το σημείο $\left (x,y \right )$ είναι σημείο τομής των $C_{f}$ και $C_{g}$ , τότε θα πρέπει:

1. $y=f\left ( x\right )$ ως σημείο της $C_{f}$ και
2. $y=g\left ( x\right )$ ως σημείο της $C_{g}$ .

Από τις παρατηρήσεις 1. και 2. προκύπτει ότι

(1) $\begin{equation*} f\left ( x\right )=g\left ( x\right ) \end{equation*}$

Η εξίσωση (1) αποτελεί μια εξίσωση με άγνωστο το $x$ , η λύση της οποίας θα μας δώσει τις τετμημένες των σημείων τομής των γραφικών παραστάσεων. Αν υποθέσουμε ότι $x_{i}$ είναι οι λύσεις της παραπάνω εξίσωσης, τότε τα σημεία τομής των $C_{f}$ και $C_{g}$ είναι τα $\left ( x_{i}, f\left ( x_{i}\right )\right )$ ή εναλλακτικά τα $\left ( x_{i}, g\left ( x_{i}\right )\right )$ , αφού $f\left ( x_{i}\right )=g\left ( x_{i}\right )$ .

Άσκηση 1

Δίνονται οι συναρτήσεις $f\left ( x\right )=x+1$ και $g\left ( x\right )=-2x+4$ . Να βρεθούν τα σημεία τομής των $C_{f}$ και $C_{g}$ .

Λύση

Οι τετμημένες των σημείων τομής είναι οι λύσεις της εξίσωσης $f\left ( x\right )=g\left ( x\right )$ , οπότε θα έχουμε

$f\left ( x\right )=g\left ( x\right )\Rightarrow x+1=-2x+4\Rightarrow 3x=3\Rightarrow \boxed{x=1}$

Επομένως, οι δύο γραφικές παραστάσεις θα έχουν ένα σημείο τομής, η τετμημένη του οποίου είναι $x=1$ και η τεταγμένη είναι $y=f\left ( 1\right )=2$ , άρα το ζητούμενο σημείο είναι το $\left (1,2 )\right$ .

-Τέλος Λύσης-

Επαλήθευση αποτελεσμάτων με geogebra

Παρακάτω βλέπουμε τις γραφικές παραστάσεις των $f$ και $g$ . Παρατηρούμε ότι το σημείο τομής είναι αυτό που υπολογίσαμε.

Άσκηση 2

Δίνονται οι συναρτήσεις $f\left ( x\right )=\displaystyle\frac{x^{2}}{2}$ και $g\left ( x\right )=x+4$ . Να βρεθούν τα σημεία τομής των $C_{f}$ και $C_{g}$ .

Λύση

Οι τετμημένες των σημείων τομής είναι οι λύσεις της εξίσωσης $f\left ( x\right )=g\left ( x\right )$ , οπότε θα έχουμε

$f\left ( x\right )=g\left ( x\right )\Rightarrow\frac{x^{2}}{2}=x+4\Rightarrow x^{2}-2x-8=0\Rightarrow \boxed{x_{1}=-2},\: \boxed{x_{2}=4}$

Επομένως, οι δύο γραφικές παραστάσεις θα έχουν δύο σημεία τομής, οι τετμημένες των οποίων είναι $x_{1}=-2$ , $x_{2}=4$ και οι τεταγμένες είναι $y_{1}=f\left ( -2\right )=2$ , $y_{2}=f\left ( 4\right )=8$ , άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα $\left (-2,2 )\right$ και $\left (4,8 )\right$ .

-Τέλος Λύσης-

Επαλήθευση αποτελεσμάτων με geogebra

Προσπαθήστε μόνοι σας την ακόλουθη άσκηση και επαληθεύστε τα αποτελέσματα με τη βοήθεια του geogebra:

Άσκηση 3

Να βρεθούν τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων:

1. $f\left ( x\right )=x-1$ και $g\left ( x\right )=-2x+8$
2. $f\left ( x\right )=x^{2}$ και $g\left ( x\right )=-x+2$
3. $f\left ( x\right )=x^{2}-x-3$ και $g\left ( x\right )=-x^{2}+3x+x$

Στείλε την προσπάθειά σου