Έστω συνάρτηση και σημείο της με συντεταγμένες . Θα ορίσουμε την εφαπτομένη της στο . Για το λόγο αυτό, θεωρούμε ένα σημείο της του οποίου η τετμημένη απέχει απόσταση από το . Προφανώς, οι συντεταγμένες του σημείου θα είναι οι . Έστω η ευθεία που ορίζεται από τα και (πράσινη ευθεία). Παρατηρούμε ότι καθώς το τείνει στο μηδέν, το σημείο πλησιάζει το σημείο και η ευθεία τείνει να πάρει μία οριακή θέση. Η οριακή αυτή θέση λέγεται εφαπτομένη (tangent) της στο Η κλίση (συντελεστής διεύθυνσης) της είναι η εφαπτομένη της γωνίας . Έστω τα τμήματα και , τότε ως εντός εκτός και επί ταυτά. Επομένως θα έχουμε:
(1)
H κλίση της εφαπτομένης στο ισούται με το όριο της ποσότητας (1) όταν . Έχουμε λοιπόν τον ακόλουθο ορισμό:
Ορισμός
Αν το όριο
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός, τότε λέμε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της. Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται με . Έχουμε λοιπόν:
(2)
Σύμφωνα με τα παραπάνω, η κλίση (συντελεστής διεύθυνσης) της εφαπτομένης στο σημείο της ισούται με την παράγωγο της στο , δηλαδή:
(3)
Άσκηση 1
Να βρεθεί η παράγωγος της στα σημεία:
-
- .
- .
- .
Λύση
-
- Για
Από το ορισμό (σχέση 2) θα έχουμε:
Παρατηρούμε ότι:
επίσης
άρα
-
- Για
Από το ορισμό (σχέση 2) θα έχουμε:
Παρατηρούμε ότι:
επίσης
άρα
-
- Για
Από το ορισμό (σχέση 2) θα έχουμε:
Παρατηρούμε ότι:
επίσης
άρα
-Τέλος Λύσης-
Το γεγονός ότι η παράγωγος ισοδυναμεί με την κλίση της εφαπτομένης, μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η παράγωγος μετρά το πόσο απότομα «ανεβαίνει» (θετική παράγωγος) ή «κατεβαίνει» (αρνητική παράγωγος) η στο σημείο . Στην παρακάτω εφαρμογή μπορείτε να συγκρίνετε την εκάστοτε τιμή της παραγώγου που βρήκαμε στην άσκηση 1 με την αντίστοιχη κλίση της εφαπτομένης. Πολλές φορές η παράγωγος καλείται ρυθμός μεταβολής (rate of change) του ως προς , όταν .
Αποδεικνύεται ότι αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο , τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις που δεν ισχύει το αντίστροφο, δηλαδή υπάρχουν συναρτήσεις που είναι συνεχής σε κάποιο σημείο αλλά όχι παραγωγίσιμες. Χαρακτηριστικό παράδειγμα αποτελεί η παρακάτω συνάρτηση:
Άσκηση 2
Δίνεται η συνάρτηση:
Να αποδείξετε ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο
Λύση
Έστω , τότε
Για έχουμε:
άρα παρατηρούμε ότι στο είναι:
επομένως δεν υπάρχει το όριο (2) της παραγώγου και άρα η συγκεκριμένη συνάρτηση δεν είναι παραγωγίσιμη στο .
-Τέλος Λύσης-
Η γραφική παράσταση της παρουσιάζεται στο ακόλουθο σχήμα. Παρατηρούμε ότι στο η γραφική παράσταση της συνάρτησης σχηματίζει «γωνία». Αυτή είναι η χαρακτηριστική εικόνα που έχουν οι μη παραγωγίσιμες συναρτήσεις, αντίθετα οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις είναι «ομαλές» και χωρίς «γωνίες».
Προσπαθήστε μόνοι σας
Άσκηση 3
Με τη βοήθεια του ορισμού της παραγώγου, να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
-
- στο
- στο
- στο
- στο
- στο
- στο
Άσκηση 3
Δίνεται η συνάρτηση:
Να αποδείξετε ότι δεν είναι παραγωγίσιμη στο
Στείλε την προσπάθειά σου