Μονοτονία
Ορισμός (Γνησίως Αύξουσας Συνάρτηση)
Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία με ισχύει .
Στην παρακάτω εφαρμογή παρουσιάζεται μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση, δύο σημεία και του άξονα με και οι αντίστοιχες εικόνες και . Μπορείτε να μετακινήσετε τα σημεία και και να δείτε πώς μεταβάλλονται οι αντίστοιχες εικόνες. Παρατηρούμε ότι για οποιαδήποτε και με ισχύει .
Το παραπάνω θεώρημα συνδέει την έννοια της γνησίως αύξουσας συνάρτησης με την έννοια της παραγώγου.
Θεώρημα
Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και ισχύει για κάθε εσωτερικό σημείο του , τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο .
Άσκηση 1
Δίνεται η συνάρτηση
-
- Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο .
- Να συγκρίνεται τις τιμές και .
Λύση
1. Η παράγωγος συνάρτηση της είναι:
Παρατηρούμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη, πράγματι:
επομένως η διατηρεί πρόσημο σε όλο το . Για να βρούμε το πρόσημο της αρκεί να υπολογίσμουμε την τιμή της για ένα τυχαίο σημείο . Για έχουμε άρα ισχύει για κάθε .
Άρα η είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το .
2. Σύμφωνα με τον ορισμό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης για ισχύει . Επομένως, για και προκύπτει .
-Τέλος Λύσης-
Ορισμός (Γνησίως Φθίνουσα Συνάρτηση)
Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία με ισχύει .
Στην παρακάτω εφαρμογή παρουσιάζεται μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, δύο σημεία και του άξονα με και οι αντίστοιχες εικόνες και . Μπορείτε να μετακινήσετε τα σημεία και και να δείτε πώς μεταβάλλονται οι αντίστοιχες εικόνες. Παρατηρούμε ότι για οποιαδήποτε και με ισχύει .
Το παραπάνω θεώρημα συνδέει την έννοια της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης με την έννοια της παραγώγου.
Θεώρημα
Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα και ισχύει για κάθε εσωτερικό σημείο του , τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο .
Άσκηση 2
Δίνεται η συνάρτηση
-
- Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο .
- Να συγκρίνεται τις τιμές και .
Λύση
1. Η παράγωγος συνάρτηση της είναι:
Παρατηρούμε ότι η εξίσωση είναι αδύνατη, πράγματι:
επομένως η διατηρεί πρόσημο σε όλο το . Για να βρούμε το πρόσημο της αρκεί να υπολογίσμουμε την τιμή της για ένα τυχαίο σημείο . Για έχουμε άρα ισχύει για κάθε .
Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το .
2. Σύμφωνα με τον ορισμό της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης για ισχύει . Επομένως, για και προκύπτει .
-Τέλος Λύσης-
Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη.
Ακρότατα
Ορισμός (Τοπικό Μέγιστο)
Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο , όταν υπάρχει περιοχή γύρω από το για την οποία για κάθε ισχύει .
Ορισμός (Ολικό Μέγιστο)
Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το λέμε ότι παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο , όταν για κάθε ισχύει .
Το παραπάνω θεώρημα συνδέει την έννοια του τοπικού μεγίστου με την έννοια της παραγώγου.
Θεώρημα (Κριτήριο Πρώτης Παραγώγου – Τοπικό Μέγιστο)
Αν για μια συνάρτηση ισχύουν για , στο και στο , τότε η παρουσιάζει στο διάστημα για μέγιστο.
Αν επιπλέον το είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης , τότε το είναι ολικό μέγιστο.
Στην παρακάτω εφαρμογή μετακινήστε το κόκκινο σημείο του άξονα και παρατηρήστε πώς μεταβάλλεται η αντίστοιχη τιμή . Τα και είναι ολικό και τοπικό μέγιστο αντίστοιχα.
Ορισμός (Τοπικό Ελάχιστο)
Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο , όταν υπάρχει περιοχή γύρω από το για την οποία για κάθε ισχύει .
Ορισμός (Ολικό Ελάχιστο)
Μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο , όταν για κάθε ισχύει .
Το παραπάνω θεώρημα συνδέει την έννοια του τοπικού ελαχίστου με την έννοια της παραγώγου.
Θεώρημα (Κριτήριο Πρώτης Παραγώγου – Τοπικό Ελάχιστο)
Αν για μια συνάρτηση ισχύουν για , στο και στο , τότε η παρουσιάζει στο διάστημα για ελάχιστο.
Αν επιπλέον το είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης , τότε το είναι ολικό ελάχιστο.
Στην παρακάτω εφαρμογή μετακινήστε το κόκκινο σημείο του άξονα και παρατηρήστε πώς μεταβάλλεται η αντίστοιχη τιμή . Τα και είναι ολικό και τοπικό ελάχιστο αντίστοιχα.
Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μίας συνάρτησης ονομάζονται ακρότατα.
Άσκηση 3
Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Λύση
Αρχικά υπολογίζουμε την παράγωγο συνάρτηση της .
στη συνέχεια αναζητούμε τα σημεία που μηδενίζουν την παράγωγο:
Για έχουμε . Επίσης για έχουμε οπότε έχουμε τον ακόλουθο πίνακα προσήμων:
Επομένως η είναι γνησίως φθίνουσα στο , γνησίως αύξουσα στο και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το οποίο είναι:
-Τέλος Λύσης-
Προσπαθήστε μόνοι σας
Άσκηση 4
Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις:
Άσκηση 5
Nα βρείτε τις τιμές των για τις οποίες η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία και . Να καθορίσετε το είδος των ακρότατων.
Άσκηση 6
Δίνεται η συνάρτηση
Να αποδείξετε ότι για κάθε πραγματικό ισχύει
Άσκηση 7
Δίνεται η συνάρτηση
Αν η έχει μόνο ένα ακρότατο να βρεθεί η τιμή του και να αποδείξετε ότι για κάθε
Άσκηση 8
-
- Να μελετηθεί η συνάρτηση
ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
- Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει:
- Να μελετηθεί η συνάρτηση
Άσκηση 9
Δίνεται η συνάρτηση
με , και
-
- Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
- Να δείξετε ότι για κάθε με ισχύει: