Στοιχεία Τριγωνομετρίας και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας

Στην τριγωνομετρία χρησιμοποιούμε τα Ακτίνια (rad) ως μονάδα μέτρησης γωνιών. Ορίζουμε $1\,rad$ να είναι η επίκεντρη γωνία που βαίνει σε τόξο ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Αν μια γωνία $\omega$ είναι $\mu$ μοίρες και $r$ rad, τότε ισχύει:

$\frac{r}{\pi}=\frac{\mu}{180^{o}}$

Για τον ορισμό των τριγωνομετρικών αριθμών (ημ, συν, εφ και σφ) οποιασδήποτε γωνία χρησιμοποιούμε τον τριγωνομετρικό κύκλο. Ο τριγωνομετρικός κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων $\left ( 0,0\right )$ και ακτίνα $\rho$ . Θεωρούμε σημείο $M$ του κύκλου το οποίο στρέφουμε κατά τη θετική φορά (αντίθετη των δεικτών του ρολογιού). Αν $\left(x, y \right)$ είναι οι συντεταγμένες του $M$ , τότε ορίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας $\omega=A\widehat{O}M$ από τις σχέσεις:

(1) $\begin{equation*} \eta \mu \omega =\frac{y}{\rho } \end{equation*}$

(2) $\begin{equation*} \sigma \upsilon \nu \omega =\frac{x}{\rho } \end{equation*}$

(3) $\begin{equation*} \varepsilon \varphi \omega =\frac{y}{x } \end{equation*}$

(4) $\begin{equation*} \sigma \varphi \omega =\frac{x}{y} \end{equation*}$

Με τη βοήθεια της παρακάτω εφαρμογής μπορείτε να δείτε δυναμικά, μετακινώντας το σημείο $M,$ τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνία $\omega$ . Μπορείτε να μεταβάλετε την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου μετακινώντας το σημείο $A$ . Παρατηρούμε ότι οι τριγωνομετρικοί αριθμοί δεν εξαρτώνται από την ακτίνα του τριγωνομετρικού κύκλου αλλά μόνο από τη γωνία $\omega$ , για το λόγο αυτό θεωρούμε συνήθως $\rho = 1$ .

Οι τιμές του $\sigma \upsilon \nu \omega$ και του $\eta \mu \omega$ μιας γωνίας $\omega$ δεν μπορούν να υπερβούν κατ’ απόλυτη τιμή την μονάδα. Δηλαδή ισχύει :

(5) $\begin{equation*} -1 \leq \eta \mu \omega \leq 1 \end{equation*}$

και

(6) $\begin{equation*} -1 \leq \sigma \upsilon \nu \omega \leq 1 \end{equation*}$

Επίσης παρατηρούμε ότι οι συντεταγμένες του σημείου $M$ που αντιστοιχούν στη γωνία $\omega$ είναι οι ίδιες με τις συντεταγμένες που αντιστοιχούν στη γωνία $2\pi+\omega$ (ή $360^{o}+\omega$ αν μετράμε τις γωνίες σε μοίρες), διότι μετά από μία πλήρη περιστροφή επανερχόμαστε στο ίδιο σημείο. Επομένως, οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας $2\pi+\omega$ θα είναι οι ίδιοι με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας $\omega$ . Αυτό ισχύει, όχι μόνο για μία πλήρη περιστροφή, αλλά και για $\kappa$ περιστροφές, όπου $\kappa \in \mathbb{Z}$ . Έχουμε επομένως το ακόλουθο συμπέρασμα:

$\eta \mu\left( 2\kappa\pi + \omega\right)=\eta \mu \omega$	$\sigma \upsilon \nu\left( 2\kappa\pi + \omega\right)=\sigma \upsilon \nu \omega$
$\varepsilon \varphi\left( 2\kappa\pi + \omega\right)=\varepsilon \varphi \omega$	$\sigma \varphi \left( 2\kappa\pi + \omega\right)=\sigma \varphi \omega$

Στον παρακάτω πίνακα επαναλαμβάνουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μερικών γωνιών που είχαμε υπολογίσει στο Γυμνάσιο και οι οποίοι είναι ιδιαίτερα χρήσιμοι στις διάφορες εφαρμογές.

Γωνία ω		Τριγωνομετρικοί Αριθμοί
σε μοίρες	σε rad	ημω	συνω	εφω	σφω
$\displaystyle 0^{o}$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 0$	–
$\displaystyle 30^{o}$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$	$\displaystyle \sqrt{3}$
$\displaystyle 45^{o}$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 1$
$\displaystyle 60^{o}$	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \sqrt{3}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle 90^{o}$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle 0$	–	$\displaystyle 0$

Για μια εκτενέστερη επανάληψη στους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας, μπορείτε να συμβουλευτείτε το αντίστοιχο κεφάλαιο της Άλγεβρας Β Λυκείου.

Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες

Στην Άλγεβρα της Β Λυκείου διδαχθήκαμε επίσης τις ακόλουθες τριγωνομετρικές ταυτότητες:

(7) $\begin{equation*} \eta \mu^{2} \omega + \sigma \upsilon \nu^{2} \omega = 1 \end{equation*}$

(8) $\begin{equation*} \varepsilon \varphi \omega = \frac{\eta \mu \omega}{\sigma \upsilon \nu \omega} \end{equation*}$

(9) $\begin{equation*} \sigma \varphi \omega = \frac{\sigma \upsilon \nu \omega}{\eta \mu \omega} \end{equation*}$

(10) $\begin{equation*} \varepsilon \varphi \omega \cdot \sigma \varphi \omega = 1 \end{equation*}$

(11) $\begin{equation*} \sigma \upsilon \nu^{2} \omega = \frac{1}{1+\varepsilon \varphi^{2} \omega} \end{equation*}$

(12) $\begin{equation*} \eta \mu^{2} \omega = \frac{\varepsilon \varphi^{2} \omega}{1+\varepsilon \varphi^{2} \omega} \end{equation*}$

Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις

Οι γραφικές παραστάσεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων $\eta \mu\, x$ , $\sigma \upsilon \nu\, x$ και $\varepsilon \varphi\, x$ παρουσιάζονται στην ακόλουθη εφαρμογή. Παρατηρούμε ότι η $\sigma \upsilon \nu\, x$ προκύπτει από μετατόπιση της $\eta \mu\, x$ κατά $\frac{\pi}{2}$ προς τα δεξιά. Επιπλέον παρατηρούμε ότι η $\varepsilon \varphi\, x$ δεν ορίζεται στα ακέραια πολλαπλάσια του $\frac{\pi}{2}$ .

Η γραφική παράσταση της παραμετρικής συνάρτησης $f\left ( x \right )=A\eta \mu\left( \omega x +\phi\right)$ παρουσιάζεται παρακάτω με τη βοήθεια του geogebra. Στα πλαίσια της Μηχανικής η συνάρτηση αυτή εμφανίζεται συνήθως με τη μορφή $x\left ( t \right )=A\eta \mu\left( \omega t +\phi\right)$ και περιγράφει τις γραμμικές αρμονικές ταλαντώσεις. Η ανεξάρτητη μεταβλητή $t$ είναι ο χρόνος και η εξαρτημένη μεταβλητή $x$ η απομάκρυνση. Οι παράμετροι $A$ , $\omega$ και $\phi$ είναι το πλάτος, η γωνιακή συχνότητα και η αρχική φάση της ταλάντωσης. Παρατηρήστε πως μεταβάλλεται η γραφική παράσταση της $f\left ( x \right )=A\eta \mu\left( \omega x +\phi\right)$ καθώς μεταβάλλουμε τις παραμέτρους $A$ , $\omega$ και $\phi$ .

Περισσότερα για τις γραφικές παραστάσεις των τριγωνομετρικών συναρτήσεων μπορείτε να βρείτε στο αντίστοιχο κεφάλαιο της Άλγεβρας Β’ Λυκείου.

Βασικές Τριγωνομετρικές Εξισώσεις

Η Εξίσωση $\eta \mu\, x = \alpha$

Θεωρούμε την τριγωνομετρική συνάρτηση $f\left ( x \right )=\eta \mu\, x$ και τη σταθερή συνάρτηση $g\left ( x \right )= \alpha$ . Η εύρεση των σημείων τομής των $C_{f}$ και $C_{g}$ ισοδυναμεί με την επίλυση της εξίσωσης

$f\left ( x \right )=g\left ( x \right )\Rightarrow \eta \mu\, x = \alpha$

Παρατηρούμε ότι αν $\alpha > 1$ ή $\alpha < -1$ δεν υπάρχουν σημεία τομής και η εξίσωση είναι αδύνατη, γεγονός που δικαιολογείται και από τη σχέση (5). Αν $-1\leq \alpha \leq 1$ παρατηρούμε ότι υπάρχουν άπειρα σημεία τομής και άρα η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις.

Αν $\theta$ είναι μία λύση της εξίσωσης, τότε το σύνολο των άπειρων λύσεων της $\eta \mu\, x = \alpha$ δίνεται από τους τύπους:

(13) $\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} 2k\pi+\theta\\ 2k\pi+\pi-\theta \end{matrix}\right\:\: \: k\in\mathbb{Z} \end{equation*}$

Η Εξίσωση $\sigma \upsilon \nu\, x = \alpha$

Με ανάλογες τεχνικές αποδεικνύεται ότι αν $\theta$ είναι μία λύση της εξίσωσης $\sigma \upsilon \nu\, x = \alpha$ , τότε το σύνολο των άπειρων λύσεων της εξίσωσης δίνεται από τους τύπους:

(14) $\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} 2k\pi+\theta\\ 2k\pi-\theta \end{matrix}\right\:\: \: k\in\mathbb{Z} \end{equation*}$

Η Εξίσωση $\varepsilon \varphi\, x = \alpha$

Αν $\theta$ είναι μία λύση της εξίσωσης $\varepsilon \varphi\, x = \alpha$ , τότε το σύνολο των άπειρων λύσεων της εξίσωσης δίνεται από τον τύπο:

(15) $\begin{equation*} \left\{\begin{matrix} k\pi+\theta \end{matrix}\right\:\: \: k\in\mathbb{Z} \end{equation*}$

Ο ίδιος τύπος λύσεων ισχύει και για την εξίσωση $\sigma \varphi\, x = \alpha$

Περισσότερες λεπτομέρειες για τις τριγωνομετρικές εξισώσεις καθώς και ασκήσεις μπορείτε να δείτε εδώ.