Συνέχεια Συνάρτησης

Είδαμε ότι μία συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού το $A$ λέγεται συνεχής, αν για κάθε $x_{0}\in A$ ισχύει:

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}f\left ( x \right )=f\left ( x_{0} \right ).$

Άσκηση 1

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:

$f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} x^{2}\:, & x\neq 2\\ 3\:, & x=2 \end{matrix}\right.$

δεν είναι συνεχής στο $x_{0}=2.$

Λύση

Για να είναι συνεχής η συνάρτηση στο $x_{0}=2$ θα πρέπει:

$\lim_{x\rightarrow 2}f\left ( x \right )=f\left ( 2 \right ).$

Παρατηρούμε ότι:

$f\left ( 2 \right )=3$

και

$\lim_{x\rightarrow 2}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow 2}\left ( x^{2} \right )=2^{2}=4$

άρα

$\lim_{x\rightarrow 2}f\left ( x \right )\neq f\left ( 2 \right )$

Επομένως η συνάρτηση $f$ δεν είναι συνεχής στο $x_{0}=2.$

-Τέλος Λύσης-

Άσκηση 2

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:

$f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} x^{2}-1\:, & x < 1\\ -x+2\:, & x\geqslant 1 \end{matrix}\right.$

δεν είναι συνεχής στο $x_{0}=1.$

Λύση

Για να είναι συνεχής η συνάρτηση στο $x_{0}=1$ θα πρέπει:

$\lim_{x\rightarrow 1}f\left ( x \right )=f\left ( 1 \right ).$

Παρατηρούμε ότι:

$f\left ( 1 \right )=-1+2=1.$

Για $x>1$ έχουμε

$\lim_{\underset{x>1}{x\rightarrow 1}}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow 1}\left ( -x+2 \right )=-1+2=1.$

Για $x<1$ έχουμε

$\lim_{\underset{x<1}{x\rightarrow 1}}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow 1}\left ( x^{2}-1 \right )=1^{2}-1=0$

άρα

$\lim_{\underset{x>1}{x\rightarrow 1}}f\left ( x \right )\neq \lim_{\underset{x<1}{x\rightarrow 1}}f\left ( x \right )$

Επομένως η συνάρτηση $f$ δεν είναι συνεχής στο $x_{0}=1.$

-Τέλος Λύσης-

Άσκηση 3

Δίνεται η συνάρτηση

$f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} \alpha x^{2}+2\:, & x <- 1\\ 3\alpha x+6\alpha\:, & x\geqslant -1 \end{matrix}\right.$

Να βρεθεί η τιμή του $\alpha$ ώστε η $f$ να είναι συνεχής στο $x_{0}=-1.$

Λύση

Για να είναι συνεχής η συνάρτηση στο $x_{0}=-1$ θα πρέπει:

$\lim_{x\rightarrow -1}f\left ( x \right )=f\left ( -1 \right ).$

Παρατηρούμε ότι:

$f\left ( -1 \right )=-3\alpha+6\alpha=3\alpha$

Για $x>-1$ έχουμε

$\lim_{\underset{x>-1}{x\rightarrow -1}}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow -1}\left ( 3\alpha x+6\alpha \right )=-3\alpha+6\alpha=3\alpha.$

Για $x<-1$ έχουμε

$\lim_{\underset{x<-1}{x\rightarrow -1}}f\left ( x \right )=\lim_{x\rightarrow -1}\left ( \alpha x^{2}+2 \right )=\alpha+2$

άρα για να είναι συνεχής στο $x_{0}=-1$ πρέπει

$\lim_{\underset{x>-1}{x\rightarrow -1}}f\left ( x \right )=\lim_{\underset{x<-1}{x\rightarrow -1}}f\left ( x \right )\Rightarrow 3\alpha=\alpha+2 \Rightarrow \boxed{\alpha=1}$

-Τέλος Λύσης-

Προσπαθήστε μόνοι σας

Άσκηση 4

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:

$f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} x^{3}+2x^{2}\:, & x\neq 1\\ 3\:, & x=1 \end{matrix}\right.$

είναι συνεχής στο $x_{0}=1.$

Άσκηση 5

Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση:

$f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+x+1\:, & x < -1\\ -3x-2\:, & x\geqslant -1 \end{matrix}\right.$

δεν είναι συνεχής στο $x_{0}=-1.$

Άσκηση 6

Δίνεται η συνάρτηση

$f\left ( x \right )=\left\{\begin{matrix} 2 x^{2}+\alpha x + 1\:, & x < 1\\ -\alpha x^{2}+7\:, & x\geqslant 1 \end{matrix}\right.$

Να βρεθεί η τιμή του $\alpha$ ώστε η $f$ να είναι συνεχής στο $x_{0}=1.$

Άσκηση 7

Αν η συνάρτηση $f$ είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το $\left (2, 3 \right )$ , να υπολογίσετε το όριο:

$\lim_{x\rightarrow 2}\frac{f\left (x \right )\left (x-2 \right )}{x^{2}-x-2}$

Στείλε την προσπάθειά σου