Μονοτονίας και Ακρότατα Συνάρτησης

Μονοτονία

Ορισμός (Γνησίως Αύξουσας Συνάρτηση)

Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα \Delta του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x_{1},\,x_{2}\in\Delta με x_{1}<x_{2} ισχύει f\left (x_{1} \right )<f\left (x_{2} \right ).

Στην παρακάτω εφαρμογή παρουσιάζεται μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση, δύο σημεία x_{1} και x_{2} του άξονα x'x με x_{1}<x_{2} και οι αντίστοιχες εικόνες f\left (x_{1} \right ) και f\left (x_{2} \right ). Μπορείτε να μετακινήσετε τα σημεία x_{1} και x_{2} και να δείτε πώς μεταβάλλονται οι αντίστοιχες εικόνες. Παρατηρούμε ότι για οποιαδήποτε x_{1} και x_{2} με x_{1}<x_{2} ισχύει f\left (x_{1} \right )<f\left (x_{2} \right ).


Το παραπάνω θεώρημα συνδέει την έννοια της γνησίως αύξουσας συνάρτησης με την έννοια της παραγώγου.

Θεώρημα

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \Delta και ισχύει f'\left (x \right ) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του \Delta, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο \Delta.

Άσκηση 1

Δίνεται η συνάρτηση f\left (x \right )=x^{3}+2x

    1. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο \mathbb{R}.
    2. Να συγκρίνεται τις τιμές f\left (2019 \right ) και f\left (2020 \right ).

Λύση

1. Η παράγωγος συνάρτηση της f είναι:

    \[ f'\left (x \right )=\left (x^{3}+2x \right )'=\left (x^{3} \right )'+2\left (x \right )'\Rightarrow \boxed{f'\left (x \right )=3x^{2}+2} \]

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση f'\left (x \right )=0 είναι αδύνατη, πράγματι:

    \[ f'\left (x \right )=0\Rightarrow 3x^{2}+2=0 \Rightarrow x^{2}=-\frac{2}{3} \]

επομένως η f'\left (x \right ) διατηρεί πρόσημο σε όλο το \mathbb{R}. Για να βρούμε το πρόσημο της f' αρκεί να υπολογίσμουμε την τιμή της f για ένα τυχαίο σημείο x. Για x=0 έχουμε f'\left (0 \right )=2>0 άρα ισχύει f'\left (x \right )>0 για κάθε x\in \mathbb{R}.

    \[ \begin{center} \begin{tabular}{c|lcl} $x$ & $-\infty$ & \multicolumn{1}{l}{} & \multicolumn{1}{r}{$+\infty$} \\ \hline $f'(x)$ & & $+$ & \\ \hline $f(x)$ & & $\nearrow$ & \\ \end{tabular} \end{center} \]

Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το \mathbb{R}.

2. Σύμφωνα με τον ορισμό της γνησίως αύξουσας συνάρτησης για x_{1}<x_{2} ισχύει f\left (x_{1} \right )<f\left (x_{2} \right ). Επομένως, για x_{1}=2019 και x_{2}=2020 προκύπτει f\left (2019 \right )<f\left (2020 \right ).

-Τέλος Λύσης-

Ορισμός (Γνησίως Φθίνουσα Συνάρτηση)

Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα \Delta του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε σημεία x_{1},\,x_{2}\in\Delta με x_{1}<x_{2} ισχύει f\left (x_{1} \right )>f\left (x_{2} \right ).

Στην παρακάτω εφαρμογή παρουσιάζεται μία γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, δύο σημεία x_{1} και x_{2} του άξονα x'x με x_{1}<x_{2} και οι αντίστοιχες εικόνες f\left (x_{1} \right ) και f\left (x_{2} \right ). Μπορείτε να μετακινήσετε τα σημεία x_{1} και x_{2} και να δείτε πώς μεταβάλλονται οι αντίστοιχες εικόνες. Παρατηρούμε ότι για οποιαδήποτε x_{1} και x_{2} με x_{1}<x_{2} ισχύει f\left (x_{1} \right )>f\left (x_{2} \right ).

Το παραπάνω θεώρημα συνδέει την έννοια της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης με την έννοια της παραγώγου.

Θεώρημα

Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα \Delta και ισχύει f'\left (x \right ) < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του \Delta, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο \Delta.

Άσκηση 2

Δίνεται η συνάρτηση f\left (x \right )=-x^{3}-2x

    1. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο \mathbb{R}.
    2. Να συγκρίνεται τις τιμές f\left (2019 \right ) και f\left (2020 \right ).

Λύση

1. Η παράγωγος συνάρτηση της f είναι:

    \[ f'\left (x \right )=\left (-x^{3}-2x \right )'=-\left (x^{3} \right )'-2\left (x \right )'\Rightarrow \boxed{f'\left (x \right )=-3x^{2}-2} \]

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση f'\left (x \right )=0 είναι αδύνατη, πράγματι:

    \[ f'\left (x \right )=0\Rightarrow -3x^{2}-2=0 \Rightarrow x^{2}=-\frac{2}{3} \]

επομένως η f'\left (x \right ) διατηρεί πρόσημο σε όλο το \mathbb{R}. Για να βρούμε το πρόσημο της f' αρκεί να υπολογίσμουμε την τιμή της f για ένα τυχαίο σημείο x. Για x=0 έχουμε f'\left (0 \right )=-2<0 άρα ισχύει f'\left (x \right )<0 για κάθε x\in \mathbb{R}.

    \[ \begin{center} \begin{tabular}{c|lcl} $x$ & $-\infty$ & \multicolumn{1}{l}{} & \multicolumn{1}{r}{$+\infty$} \\ \hline $f'(x)$ & & $-$ & \\ \hline $f(x)$ & & $\searrow$ & \\ \end{tabular} \end{center} \]

Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το \mathbb{R}.

2. Σύμφωνα με τον ορισμό της γνησίως φθίνουσας συνάρτησης για x_{1}<x_{2} ισχύει f\left (x_{1} \right )>f\left (x_{2} \right ). Επομένως, για x_{1}=2019 και x_{2}=2020 προκύπτει f\left (2019 \right )>f\left (2020 \right ).

-Τέλος Λύσης-

Μια συνάρτηση που είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα λέγεται γνησίως μονότονη.

Ακρότατα

Ορισμός (Τοπικό Μέγιστο)

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο x_{0}\in A , όταν υπάρχει περιοχή \Delta γύρω από το x_{0} για την οποία για κάθε x\in\Delta ισχύει f\left (x \right ) \leqslant f\left (x_{0} \right ).

Ορισμός (Ολικό Μέγιστο)

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A λέμε ότι παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο x_{0}\in A , όταν για κάθε x\in A ισχύει f\left (x \right ) \leqslant f\left (x_{0} \right ).

Το παραπάνω θεώρημα συνδέει την έννοια του τοπικού μεγίστου με την έννοια της παραγώγου.

Θεώρημα (Κριτήριο Πρώτης Παραγώγου – Τοπικό Μέγιστο)

Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f'(x_{0})=0 για x_{0}\in (\alpha, \beta), f'(x)>0 στο (\alpha, x_{0}) και f'(x)<0 στο (x_{0},\beta), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (\alpha, \beta) για x=x_{0} μέγιστο.

Αν επιπλέον το x_{0} είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης f'(x_{0})=0, τότε το f(x_{0}) είναι ολικό μέγιστο.

Στην παρακάτω εφαρμογή μετακινήστε το κόκκινο σημείο x του άξονα x'x και παρατηρήστε πώς μεταβάλλεται η αντίστοιχη τιμή y=f\left (x \right ). Τα f\left (x_{0} \right ) και f\left (x_{1} \right ) είναι ολικό και τοπικό μέγιστο αντίστοιχα.


Ορισμός (Τοπικό Ελάχιστο)

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A λέμε ότι παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x_{0}\in A , όταν υπάρχει περιοχή \Delta γύρω από το x_{0} για την οποία για κάθε x\in\Delta ισχύει f\left (x \right ) \geqslant f\left (x_{0} \right ).

Ορισμός (Ολικό Ελάχιστο)

Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το A λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x_{0}\in A , όταν για κάθε x\in A ισχύει f\left (x \right ) \geqslant f\left (x_{0} \right ).

Το παραπάνω θεώρημα συνδέει την έννοια του τοπικού ελαχίστου με την έννοια της παραγώγου.

Θεώρημα (Κριτήριο Πρώτης Παραγώγου – Τοπικό Ελάχιστο)

Αν για μια συνάρτηση f ισχύουν f'(x_{0})=0 για x_{0}\in (\alpha, \beta), f'(x)<0 στο (\alpha, x_{0}) και f'(x)>0 στο (x_{0},\beta), τότε η f παρουσιάζει στο διάστημα (\alpha, \beta) για x=x_{0} ελάχιστο.

Αν επιπλέον το x_{0} είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης f'(x_{0})=0, τότε το f(x_{0}) είναι ολικό ελάχιστο.

Στην παρακάτω εφαρμογή μετακινήστε το κόκκινο σημείο x του άξονα x'x και παρατηρήστε πώς μεταβάλλεται η αντίστοιχη τιμή y=f\left (x \right ). Τα f\left (x_{0} \right ) και f\left (x_{1} \right ) είναι ολικό και τοπικό ελάχιστο αντίστοιχα.

Τα μέγιστα και τα ελάχιστα μίας συνάρτησης ονομάζονται ακρότατα.

Άσκηση 3

Να μελετηθεί η f\left ( x \right )=x^{2}-x-1 ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

Λύση 

Αρχικά υπολογίζουμε την παράγωγο συνάρτηση της f.

    \[ f'\left ( x \right )=\left ( x^{2} -x-1\right )'=2x-1 \]

στη συνέχεια αναζητούμε τα σημεία που μηδενίζουν την παράγωγο:

    \[ f'\left ( x \right )=0\Rightarrow 2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2} \]

Για x=0<1/2 έχουμε f'\left ( 0 \right )=-1<0. Επίσης για x=1>1/2 έχουμε f'\left ( 1 \right )=1>0 οπότε έχουμε τον ακόλουθο πίνακα προσήμων:

    \[ \begin{center} \begin{tabular}{c|ccccll} $x$ & \multicolumn{1}{l}{$-\infty$} & \multicolumn{1}{l}{} & \multicolumn{2}{c}{$\frac{1}{2}$} & & \multicolumn{1}{r}{$+\infty$} \\ \hline $f'(x)$ & & $-$ & \multicolumn{1}{c|}{} & & $+$ & \\ \hline $f(x)$ & & $\searrow$ & \multicolumn{1}{c|}{} & & $\nearrow$ & \end{tabular} \end{center} \]

Επομένως η f είναι γνησίως φθίνουσα στο \left ( -\infty ,1/2 \right ], γνησίως αύξουσα στο \left [ 1/2, +\infty \right ) και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο x_{0}=1/2 το οποίο είναι:

    \[ y=f\left ( \frac{1}{2} \right )=\left ( \frac{1}{2} \right )^{2} -\frac{1}{2} -1=-\frac{5}{4} \]

-Τέλος Λύσης-

Προσπαθήστε μόνοι σας

Άσκηση 4

Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις:

    1. f\left ( x \right )=x^{3}-3x^{2}+3x+1
    2. f\left ( x \right )=x^{3}-3x+2
    3. f\left ( x \right )=2x^{3}-3x^{2}-1

Άσκηση 5

Nα βρείτε τις τιμές των \alpha,\, \beta \in \mathbb{R} για τις οποίες η συνάρτηση f\left ( x \right ) = \alpha x^{3} + \beta x^{2} - 3x + 1 παρουσιάζει τοπικά ακρότατα στα σημεία x_{1} = - 1 και x_{2} = 1. Να καθορίσετε το είδος των ακρότατων.

Άσκηση 6

Δίνεται η συνάρτηση

    \[ f\left ( x \right )=\sigma \upsilon \nu \, x -\frac{3}{2}x. \]

Να αποδείξετε ότι για κάθε x πραγματικό ισχύει f\left (x \right )-f\left ( x+1 \right )>0

Άσκηση 7

Δίνεται η συνάρτηση

    \[ f\left ( x \right )=\frac{x^{2}+\lambda x}{x^{2}+1}. \]

Αν η f έχει μόνο ένα ακρότατο να βρεθεί η τιμή του \lambda και να αποδείξετε ότι f\left ( x \right )\geqslant 0 για κάθε x\in \mathbb{R}

Άσκηση 8

    1. Να μελετηθεί η συνάρτηση

          \[ f\left ( x \right ) = \sqrt{\alpha x}-\frac{x}{2} \]

      ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.

    2. Να αποδείξετε ότι για κάθε \alpha,\,\beta >0 ισχύει:

          \[ \sqrt{\alpha\cdot\beta}\leqslant \frac{\alpha+\beta}{2} \]

Άσκηση 9

Δίνεται η συνάρτηση

    \[ f\left ( x \right ) =\left (1+ x \right ) ^{n}-n x \]

με n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2 και x\geqslant -1

    1. Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
    2. Να δείξετε ότι για κάθε n\in\mathbb{N} με n\geqslant 2 ισχύει:

          \[\left (1+ \frac{1}{n} \right ) ^{n}> 2\]