Σημεία τομής Γραφικής Παράστασης με τους Άξονες

Στην παρούσα εργασία θα θυμηθούμε πώς υπολογίζουμε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης $f$ με τους άξονες $x'x$ και $y'y$ . Εφεξής, τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ θα τη συμβολίζουμε με $C_{f}$ .

Γνωρίζουμε ότι ένα σημείο $A$ με συντεταγμένες $\left ( x, y\right )$ είναι σημείο της $C_{f}$ αν και μόνο αν $y=f\left ( x \right )$ , δηλαδή οι συντεταγμένες του $A$ έχουν τη μορφή:

(1) $\begin{equation*} \left ( x, f\left ( x \right ) \right ) \end{equation*}$

Σημείο τομής με τον $\mathbf{y'y}$

Έστω $\left ( x, y\right )$ σημείο τομής της $C_{f}$ με τον άξονα $y'y$ . Για να προσδιορίσουμε το σημείο $\left ( x, y\right )$ , θα πρέπει να προσδιορίσουμε τους δύο αγνώστους $x$ και $y$ , επομένως χρειαζόμαστε δύο πληροφορίες (όσοι είναι και οι άγνωστοι). Η πρώτη πληροφορία που θα χρησιμοποιήσουμε είναι ότι το σημείο $\left ( x, y\right )$ είναι σημείο της $C_{f}$ , άρα από την (1) έχουμε $\left ( x, f\left ( x \right )\right )$ . Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι το σημείο $\left ( x, f\left ( x \right )\right )$ είναι και σημείο του άξονα $y'y$ , άρα θα πρέπει $x=0$ , επομένως το σημείο τομής είναι το

(2) $\begin{equation*} \left (0, f\left ( 0 \right )\right ) \end{equation*}$

Είναι φανερό ότι το σημείο αυτό υπάρχει αν και μόνο αν το 0 είναι στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης.

Σημεία τομής με τον $\mathbf{x'x}$

Έστω $\left ( x, y\right )$ σημείο τομής της $C_{f}$ με τον άξονα $x'x$ . Όπως και στην περίπτωση με τον άξονα $y'y$ , έτσι και εδώ θα πρέπει να προσδιορίσουμε τους δύο αγνώστους $x$ και $y$ . Πάλι από την (1) έχουμε ότι $y=f\left ( x \right )$ , άρα το σημείο τομής έχει τη μορφή $\left ( x, f\left ( x \right )\right )$ . Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι $y=0$ , άρα πρέπει:

(3) $\begin{equation*} f\left ( x \right )=0\end{equation*}$

Η έκφραση (3) αποτελεί μια εξίσωση με άγνωστο το $x$ , η επίλυση της οποίας θα μας προσδιορίσει τα σημεία τομής με τον άξονα $x'x$ . Επομένως, αν $x_{i}$ είναι οι λύσεις της εξίσωσης (3), τότε τα σημεία τομής της $C_{f}$ με τον άξονα $x'x$ είναι τα:

(4) $\begin{equation*}\left ( x_{i}, 0\right ) \end{equation*}$

Είναι φανερό ότι το πλήθος των σημείων τομής είναι ίσο με το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης.

Άσκηση 1

Δίνεται η συνάρτηση

$f\left ( x \right )=2x+6$

Να βρεθούν τα σημεία τομής της $C_{f}$ με τους άξονες $x'x$ και $y'y$ .

Λύση

Σημείο τομής με τον $y'y$

Από την (2) γνωρίζουμε ότι το σημείο τομής της $C_{f}$ με τον άξονα $y'y$ είναι το $\left (0, f\left ( 0 \right )\right )$ , αρκεί λοιπόν να υπολογίσουμε το $f\left ( 0 \right )$ . Θα έχουμε:

$f\left ( 0 \right )=2\cdot 0+6\Rightarrow f\left ( 0 \right )=6$

άρα το σημείο τομής της $C_{f}$ με τον άξονα $y'y$ είναι το $\Aboxed{\left (0, 6\right )}$

Σημείο τομής με τον $x'x$

Από την (3) γνωρίζουμε ότι τα σημεία τομής της $C_{f}$ με τον άξονα $x'x$ έχουν τη μορφή $\left ( x_{i}, 0\right )$ , όπου $x_{i}$ οι λύσεις της εξίσωσης $f\left ( x \right )=0$ . Επομένως θα έχουμε:

$f\left ( x \right )=0\Rightarrow 2x+6=0\Rightarrow x=-\frac{6}{2}=-3$

άρα υπάρχει ένα σημείο τομής της $C_{f}$ με τον άξονα $x'x$ το οποίο είναι $\Aboxed{\left (-3, 0\right )}$

-Τέλος Λύσης-

Επαλήθευση αποτελεσμάτων με geogebra

Παρακάτω, βλέπουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης $f$ κατασκευασμένη σε geogabra. Παρατηρούμε ότι η $C_{f}$ τέμνει τους άξονες ακριβώς στα σημεία που υπολογίσαμε.

Άσκηση 2

Δίνεται η συνάρτηση

$f\left ( x \right )=x^{3}-2x^{2}-5x+6$

Να βρεθούν τα σημεία τομής της $C_{f}$ με τους άξονες $x'x$ και $y'y$ .

Λύση

Σημείο τομής με τον $y'y$

$f\left ( 0 \right )=0^{3}-2\cdot 0^{2}-5\cdot 0+6\Rightarrow f\left ( 0 \right )=6$

άρα το σημείο τομής της $C_{f}$ με τον άξονα $y'y$ είναι το $\Aboxed{\left (0, 6\right )}$

Σημείο τομής με τον $x'x$

$f\left ( x \right )=0\Rightarrow x^{3}-2x^{2}-5x+6=0$

η οποία είναι 3ου βαθμού. Γνωρίζουμε ότι οι πιθανές ακέραιες ρίζες της εξίσωσης είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου $\alpha_{0}=6$ , οι οποίοι είναι οι: $\pm 1,\: \pm 2,\: \pm 3,\: \pm 6$ . Με το σχήμα Horner εξετάζουμε αν κάποιος από αυτούς μηδενίζει το πολυώνυμο $x^{3}-2x^{2}-5x+6=0$ , πράγματι για $\rho = 1$ έχουμε:

Επομένως το $x-1$ είναι παράγοντας του πολυωνύμου, δηλαδή:

$x^{3}-2x^{2}-5x+6=\left ( x-1\right )\left (x^{2}-x-6 \right )$

Η εξίσωση παίρνει τη μορφή

$\left ( x-1\right )\left (x^{2}-x-6 \right )=0\Rightarrow x=1\:\: \eta'\:\: x^{2}-x-6 =0$

Η 2ου βαθμού εξίσωση λύνεται με διακρίνουσα και έχει 2 λύσεις, τις $x=-2$ και $x=3$ . Άρα τα σημεία τομής της $C_{f}$ με τον $x'x$ είναι τα $\left (-2,0\right )$ , $\left (1,0\right )$ και $\left (3,0\right )$ .

-Τέλος Λύσης-

Επαλήθευση αποτελεσμάτων με geogebra

Προσπαθήστε μόνοι σας

Άσκηση 3

Να βρείτε τα σημεία τομής των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες $x'x$ και $y'y$ :

1. $f\left ( x \right )=-3x+9$
2. $f\left ( x \right )=2x^{2}+7x-15$
3. $f\left ( x \right )=x^{2}+x+2$
4. $f\left ( x \right )=x^{2}-x-3$
5. $f\left ( x \right )=\frac{1-x}{x}$
6. $f\left ( x \right )=2x^{3}+x^{2}-11x-10$

Στείλε την προσπάθειά σου