Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης

Στην παράγραφο Η Έννοια της Παραγώγου είδαμε ότι η κλίση $\alpha$ της εφαμπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο $A$ ισούται με την τιμή της παραγώγου στο $x_{0}$ , δηλαδή:

$\alpha = f'\left ( x_{0} \right ).$

Έστω συνάρτηση $f$ , σημείο $A\left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ της γραφικής παράστασης $C_{f}$ και $\varepsilon_{Α}$ η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο $A$ . Για τον προσδιορισμό της εξίσωση $y=\alpha x+\beta$ της ευθείας $\varepsilon_{Α}$ χρησιμοποιούμε:

1. το γεγονός ότι $\alpha = f'\left ( x_{0} \right )$
2. το γεγονός ότι η ευθεία $\varepsilon_{Α}$ διέρχεται από το $A$ και άρα οι συντεταγμένες $\left ( x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ επαληθεύουν την εξίσωση της ευθείας.

Άσκηση 1

Δίνεται η συνάρτηση

$f\left ( x \right )=\frac{1}{2}x^2+x-1.$

Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο $\left ( 1,f\left ( 1 \right ) \right ).$

Λύση

Έστω $y=\alpha x+\beta$ η εξίσωση της εφαπτομένης $\varepsilon$ της $C_{f}$ στο σημείο $\left ( 1,f\left ( 1 \right ) \right )$ . Αρχικά έχουμε:

$f\left ( 1 \right ) = \frac{1}{2}1^2+1-1=\frac{1}{2}$

άρα το σημείο της $C_{f}$ στο οποίο αναζητούμε την εφαπτομένη είναι το $\left ( 1,1/2 \right )$ . Η παράγωγος της $f$ είναι:

$\begin{align*} f'\left ( x \right )&=\left ( \frac{1}{2}x^2+x-1 \right )'= \frac{1}{2}\left (x^2\right )'+\left ( x \right )'-\left ( 1 \right )'=\frac{1}{2}2x+1\\ &\Rightarrow \boxed{f'\left ( x \right )=x+1} \end{align*}$

άρα ο συντελεστής διεύθυνσης θα είναι:

$\alpha = f'\left ( 1 \right )\Rightarrow \boxed{\alpha =2}.$

Η εξίσωση της $\varepsilon$ έχει τότε τη μορφή: $y=2 x+\beta$ . Το σημείο $\left ( 1,1/2 \right )$ είναι σημείο της ευθείας, άρα για $x=1$ πρέπει $y=1/2$ . Οπότε θα έχουμε:

$y=2 x+\beta\Rightarrow \frac{1}{2}=2+\beta\Rightarrow \boxed{\beta=-\frac{3}{2}}$

επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης είναι η:

$y=2x-\frac{3}{2}$

-Τέλος Λύσης-

Άσκηση 2

Δίνεται η συνάρτηση

$f\left ( x \right )=\lambda x^{2}+2x+1.$

Να βρεθεί η τιμή του $\lambda$ ώστε η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_{f}$ στο σημείο $\left ( 1,f\left ( 1 \right ) \right )$ να τέμνει τον άξονα τον $x'x$ στο σημείο σημείο $x=1/4.$

Λύση

Έστω $y=\alpha x+\beta$ η εξίσωση της εφαπτομένης $\varepsilon$ της $C_{f}$ στο σημείο $\left ( 1,f\left ( 1 \right ) \right )$ . Αρχικά έχουμε:

$f\left ( 1 \right ) = \lambda \cdot 1^2+2\cdot 1+1 = \lambda +3$

άρα το σημείο της $C_{f}$ στο οποίο αναζητούμε την εφαπτομένη είναι το $\left ( 1,\lambda +3 \right )$ . Η παράγωγος της $f$ είναι:

$\begin{align*} f'\left ( x \right )&=\left ( \lambda x^{2}+2x+1 \right )'= \lambda\left (x^2\right )'+2\left ( x \right )'+\left ( 1 \right )'=2\\ &\Rightarrow \boxed{f'\left ( x \right )=2\lambda x + 2} \end{align*}$

επομένως ο συντελεστής διεύθυνσης θα είναι:

$\alpha = f'\left ( 1 \right )\Rightarrow\boxed{\alpha =2\lambda + 2}.$

Η εξίσωση της $\varepsilon$ έχει τότε τη μορφή: $y=\left ( 2\lambda + 2 \right ) x+\beta$ . Το σημείο $\left ( 1, \lambda +3 \right )$ είναι σημείο της ευθείας, δηλαδή για $x=1$ πρέπει $y= \lambda +3$ . Οπότε θα έχουμε:

$y=\left ( 2\lambda + 2 \right ) x+\beta\Rightarrow \lambda +3 = 2\lambda + 2 +\beta\Rightarrow \boxed{\beta = -\lambda+1}$

άρα η εξίσωση της εφαπτομένης έχει τη μορφή:

$y=\left ( 2\lambda + 2 \right ) x-\lambda+1.$

Επιπλέον, απαιτείται η παραπάνω ευθεία να τέμνει τον άξονα $x'x$ στο $x=\frac{1}{4}$ , δηλαδή θα πρέπει για $x=\frac{1}{4}$ να είναι $y=0$ . Με αντικατάσταση στην εξίσωση ευθείας παίρνουμε:

$\begin{align*} y&=\left ( 2\lambda + 2 \right ) x-\lambda+1\\ &\Rightarrow \left ( 2\lambda + 2 \right ) \frac{1}{4}-\lambda+1=0\\ &\Rightarrow 2\lambda + 2-4\lambda+4=0\\ &\Rightarrow -2\lambda + 6=0\\ &\Rightarrow \boxed{\lambda=3} \end{align*}$

οπότε για $\lambda=3$ η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο $\left ( 1,f\left ( 1 \right ) \right )$ τέμνει τον άξονα $x'x$ στο $x=\frac{1}{4}.$

-Τέλος Λύσης-

Άσκηση 3

Δίνεται η συνάρτηση

$f\left ( x \right )=x^{2}-2x+2$

και το σημείο $A\left (1, 0 \right )$ . Να βρεθούν οι εφαπτομένες της $C_{f}$ που διέρχονται από το σημείο $A$ .

Λύση

Αρχικά παρατηρούμε ότι το σημείο $A$ δεν είναι σημείο της $C_{f}$ διότι $f\left ( 1\right )=1^{2}-2+2=1\neq 0$ . Έστω $B\left (x_{0},f\left ( x_{0} \right ) \right )$ σημείο της $C_{f}$ και $y=\alpha x+\beta$ η εξίσωση της εφαπτομένης της $C_{f}$ στο $B$ . Αρχικά έχουμε:

$f\left ( x_{0} \right ) = x_{0}^{2}-2x_{0}+2$

άρα το σημείο της $C_{f}$ στο οποίο αναζητούμε την εφαπτομένη είναι το $B\left ( x_{0}, x_{0}^{2}-2x_{0}+2 \right )$ . Η παράγωγος της $f$ είναι:

$f'\left ( x \right )=\left ( x^{2}-2x+2 \right )'=\left ( x^{2} \right )'-2\left ( x\right )'+\left ( 2 \right )'\Rightarrow \boxed{f'\left ( x \right )=2x-2}.$

άρα ο συντελεστής διεύθυνσης στο τυχαίο σημείο $B$ θα είναι:

$\alpha = f'\left ( x_{0} \right )\Rightarrow\boxed{\alpha =2x_{0} - 2}.$

Η εξίσωση της εφαπτομένης έχει τότε τη μορφή: $y=\left ( 2x_{0} - 2 \right ) x+\beta$ . Το σημείο $B\left ( x_{0}, x_{0}^{2}-2x_{0}+2 \right )$ είναι σημείο της ευθείας, άρα για $x=x_{0}$ πρέπει $y= x_{0}^{2}-2x_{0}+2$ . Οπότε θα έχουμε:

$\begin{align*} y&=\left ( 2x_{0} - 2 \right ) x+\beta \\ &\Rightarrow x_{0}^{2}-2x_{0}+2=\left ( 2x_{0} - 2 \right ) x_{0}+\beta \\ &\Rightarrow x_{0}^{2}-2x_{0}+2= 2x^{2}_{0} - 2 x_{0}+\beta \\ &\Rightarrow \boxed{\beta = -x_{0}^{2}+2} \end{align*}$

επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης στο τυχαίο σημείο $B$ εκφράζεται ως εξής:

$y=\left ( 2x_{0} - 2 \right ) x -x_{0}^{2}+2.$

Η παραπάνω ευθεία θέλουμε να διέρχεται από το σημείο $A\left (1, 0 \right )$ , άρα για $x=1$ πρέπει $y=0$ . Με αντικατάσταση στην εξίσωση ευθείας παίρνουμε:

$\begin{align*} \left ( 2x_{0} - 2 \right ) \cdot 1 -x_{0}^{2}+2&=0\\ -x_{0}^{2}+2x_{0}&=0\\ x_{0}\left ( 2-x_{0} \right )&=0\\ \Aboxed{x_{01}&=0}\\ \acute{\eta }\\ \Aboxed{x_{02}&=2} \end{align*}$

οπότε υπάρχουν δύο σημεία της $C_{f}$ των οποίων η εφαπτομένη διέρχεται από το σημείο $A$ , το $B_{1}\left ( 0, f\left ( 0 \right ) \right )=\left ( 0, 2\right )$ και το $B_{2}\left ( 2, f\left ( 2 \right ) \right )=\left ( 2, 2 \right )$ . Οι εξισώσεις των εφαπτόμενων ευθειών στα σημεία $B_{1}$ και $B_{2}$ είναι η $y=-2x+2$ και η $y=2x-2$ αντίστοιχα.

-Τέλος Λύσης-

Προσπαθήστε μόνοι σας

Άσκηση 4

Δίνεται η συνάρτηση

$f\left ( x \right )=x^{3}-2x+1$

Να βρεθεί η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο $A\left ( 0,f\left ( 0 \right ) \right )$

Άσκηση 5

Δίνεται η συνάρτηση

$f\left ( x \right )=\sqrt{2x-1}$

Να βρεθεί η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο σημείο $A\left ( 5,f\left ( 5 \right ) \right )$ καθώς και τα σημεία τομής της εφαπτομένης με τους άξονες $x'x$ και $y'y$ .

Άσκηση 6

Δίνεται η συνάρτηση

$f\left ( x \right )=\frac{1}{x}$

και το σημείο $A\left ( -1, 1 \right )$ . Να βρεθούν οι εφαπτομένες της $C_{f}$ που διέρχονται από το σημείο $A.$

Στείλε την προσπάθειά σου